반드시 필요한 게임 수학에 대해 알아보자.

게임 수학 이란!

크게 3가지로 나눌 수 있다. 

공간에 대한 수학 :

현실세계 vs 가상세계(게임 속 세계)

• 컴퓨터로 만든 가상 세계는 수로부터 만든 명확한 시스템. == 벡터공간(게임이 사용하는 가상공간의 본질)
• 물리학의 벡터(크기와 방향을 가진 대상)와 스칼라(크기만 있는 물리량)
• 수학에서의 벡터(벡터공간의 원소)와 스칼라(체 집합의 원소)
• 가상세계가 구축되는 원리를 파악해보자면 우리가 원하는 모습으로 가상세계를 변형해야 되는데 이것을 수학에서는 변환이라 한다(Transformation). 1초에 60프레임을 찍어내는 게임에서는 변환을 빠르고 단순하고 명료하게 이루어져야 한다. 이것을 선형 변환(Linear Transformation)이라 한다.
• 보다 그럴듯한 모습을 화면을 보여주기 위해 나름의 공간변환체제를 만들어 둔게 렌더링 파이프라인.
• 렌더링 파이프 라인 : 로컬공간 >>(모델링 변환) >> 월드공간 >> (뷰변환) >> 뷰공간 >>(원근 투영 변환)>> 사영공간
• 이러한 체계가 만들어 졌으니 컴퓨터에 일을 시켜야 하는데 이 일을 지시하기 위한 도구가 바로 수학의 행렬.((Matrix) - 선형 변환을 수행하는 도구)
• 행렬이란? 컴퓨터로 하여금 가상공간을 빠르게 변환시키도록 지시하는 일종의 명령어라 할 수 있음. 렌더링 파이프라인이 만들어져있는 만큼 행렬도 사용하는 행렬이 정해져 있지만 스스로 행렬을 설계할 수 있도록 기본원리를 이해하는 것이 중요함.
• 이것들을 이해하고 나면 다음으로 평면의 방정식을 사용해서 여러 개의 평면을 사용해서 자신의 공간을 구축하는 방법을 알아야 된다. >> 카메라가 보는 영역 == 절두체(Frustum) - 6개의 평면으로 구성. 게임의 특징인 보이는 물체만 걸러내서 렌더링 하는 수학적인 메커니즘이 만들어 지게됨. 이렇게 해서 1초에 60프레임이라는 빠른 렌더링이 가능하게 된 것.
• 가장 중요한 것 : 1) 수의 체계와 벡터 공간. 2) 선형 변환과 행렬

물체에 대한 수학 : 

• 게임에서 사용하는 가상공간의 체계와 물체를 구성하는 데 사용하는 수학
• 가상세계는 다차원으로 구성된 수의 데이터인 벡터 공간으로 구성되어 있다 하였는데 벡터공간은 어떤 대상의 성질을 표현하는 데 사용되는 데이터. 따라서 벡터 공간의 공간과 현실세계의 공간은 다른 공간. 하지만 벡터공간으로 현실세계의 공간을 만들어 내야 한다. >> 공간의 차원을 늘린다. ex>> 2차원 물체의 표현- 2차원 , 이동의 구현 - 1차원 == 총 3차원의 공간을 활용, 3차원의 물체를 이동하려면 - 3차원의 물체의 표현 -3차원, 이동의 구현 -1차원 == 총 4차원의 공간을 활용.
• 수학의 벡터는 게임을 구현하기 위해 점 또는 (이동)벡터 중 하나로 사용된다.
• 게임은 벡터 공간을 1) 물체를 표현하는 공간 = 아핀공간 2) 이동을 위한 공간으로 분리해 관리한다.
• 아핀공간에 속한 요소들이 벡터이긴 하지만 이 요소들은 물체를 표현하는데 사용되고, 이 요소들을 구분 짓기 위해 별도로 점이라 하고, 따라서 가상공간의 물체는 점으로 구성되어 있다.
• 벡터공간의 다른 부분 공간인 이동을 위한 공간에 속한 벡터 == 벡터(Vector) 또는 이동벡터
• 수학적 벡터 : 벡터 공간의 원소. / 물리적 벡터 : 크기와 방향을 가진 대상. >> 이동벡터는 물리적 벡터에 해당.
• 아핀공간의 점을 사용해서 물체를 만들면 이물체는 이동벡터가 가지고 있는 크기와 방향을 사용해서 이 점을 이동시키도록 구현되어 있다.(점 --->점 , 화살표 = 이동벡터) 수식: P1 + v = P2 , 두 점 사이에는 하나의 벡터가 대응된다. v = P2-P1 (= 이동벡터를 알 수 있음)
• 정리하면, 게임은 벡터 공간을 1. 물체를 표현하는 공간. 2. 이동을 위한 공간.으로 분리하여 관리한다.
• 게임에서 보이는 3차원 공간은 실제로는 4차원 공간
• 게임공간 (움직일 일이 없기에 1차원(0,0,0)은 기본값으로 두고 3차원만 사용) = 월드공간
• 물체를 배치하는 과정 >> 물체의 공간(아핀공간의 점들로 구성되어 있음, 이 역시 4차원 공간으로 구성되어있음(물체는 이동을 하기에 1차원공간 적극적으로 사용 ) ) = 로컬공간
• 월드공간으로 로컬 공간과 점을 들고 겹쳐두는 거라 생각해야돼.
• 정리하면 >> 4차원 공간을 생성하고, 3차원 공간으로 대상을 표현하고 확장한 1차원 공간으로 이동을 구현. 벡터는 용도에 따라서 물체를 구성하는 데 사용하는 점과, 물체를 이동하는 데 사용하는 (이동)벡터로 나누어진다. 그래서 우린 점에 대한 수학과 이동벡터를 다루는 수학으로 나누어 공부할 거임. 
  • <게임을 만들기 위해서는>
  • - 로컬 공간 : 개별 물체의 공간 (모델링 진행, 모델링한 결과물은 메시데이터로 변환되어 게임 엔진에 들어감. 게임엔진에서 메시 데이터는 세 개의 정점으로 구성된 삼각형으로 분해됨)
  • - 월드 공간 : 물체들이 모인 게임의 공간.(우리가 흔히 게임 스테이지라고 부르는 공간)
  • - 카메라 공간 : 플레이어가 보는 공간
  • - 최종 렌더링 진행
• 게임이 시작되면 프레임마다 월드 공간이 사용자 입력과 지정된 로직에 따라 시뮬레이션되고(로컬공간 - 월드 공간의 변환) 이 프레임에 수행할 시뮬레이션이 완성되면 카메라에 보여지는 물체만 걸러내서 렌더링을 진행하게 됨.(월드 공간 - 카메라 공간의 변환)
• 전자를 게임 로직( :물체의 배치 설정), 후자를 렌더링 로직(: 화면에 그릴 데이터 설정)이라 말한다. 앞서 설명한 공간에 대한 수학과 점에 대한 수학은 렌더링 로직에서 굉장히 중요하게 사용됨. 

1. • 게임 로직 단계에서는 특수한 경우를 제외하고는 점에 대한 수학을 쓸 일이 별로 없음. 게임에서 물체가 이동하는 것은 물체를 구성하는 점이 이동하는 것이 아니고 물체를 담는 공간이 이동하는 것(벡터의 수학). 따라서 이때는 점을 다루지 않고 평행이동한 공간의 원점과 그 공간을 구성하는 중심축의 변환에 대해서만 신경 쓰면 됨.

1. • 이렇게 공간의 변환을 설정하는 것을 트랜스폼이라 함.>> 트랜스폼(Transform) : 크기, 회전, 위치를 순서대로 조합한 변환. 트랜스폼의 최종 정보는 내부적으로는 행렬로 구성되어 있지만 게임 로직에서는 행렬의 정보를 사용하지 않고 크기, 위치, 회전의 3가지 데이터로 쪼개서 관리.

1.  

1.  

• 벡터에 대한 수학이란, 개별 물체가 가지고 있는 크기, 위치, 회전에 대한 정보를 계산하는 데 사용하는 수학을 말함. 벡터의 연산을 통해 벡터와 스칼라가 상호 순환하는 시스템이 만들어진다.

<벡터의 연산>

1. • 1. 벡터와 벡터의 덧셈(기본) - 각축의 크기만큼 평행 이동
     2. 벡터와 스칼라의 곱셈(기본) -벡터가 가지고 있는 고유한 성질, 평면의 기울기로 볼 수 있음. 그 기울기를 그대로 유지한 상태에서 원점으로부터 크기를 쭉 조절해 주는 동작. ** 2의 스칼라의 짧은 정의: 사칙 연산이 가능한 수 집합의 원소를 의미( == 우리가 일상생활에서 사용하는 실수가 바로 스칼라)
     3. 벡터의 내적(응용)
     4. 벡터의 외적(응용)

1. • 1,2의 연산을 벡터의 기본연산이라 하는데 이 두 개의 연산을 조합해서 사용하면 새로운 벡터를 생성할 수 있다. 이것을 선형 조합이라 하는데 평행하지 않은 두 벡터를 조합하면 평면에 있는 모든 벡터를 생성할 수 있다.( == 평면의 경우, 평행하지 않은 두 기저 벡터를 선형조합하면 평면상의 모든 벡터를 생성할 수 있다.)

1. • 벡터의 두 기본 연산은 벡터의 생성 시스템에 사용하는 선형 조합을 구성하는 필수 연산임. 조합하는 데 사용하는 가장 기본적인 벡터 두 가지. >> x축에 해당하는 1.0과 y축에 해당하는 0,1 이 둘을 조합하면 공간에 속한 모든 벡터를 손쉽게 생성해 낼 수 있음. 이 두 가지를 표준 기저벡터라 부름.

1. • • 표준 기저벡터(Standard Basis Vector) : 평면의 모든 벡터를 생성할 수 있는 기저(Basis)에서 가장 기본적인 기저벡터. 
   • 벡터를 다양하게 응용할 수 있는 별도의 연산이 바로 내적과 외적. 벡터의 내적과 외적은 게임 제작과정에서 벡터를 응용하는 데 사용하는 유용한 연산들이다.

1. • 1. 벡터의 내적 (백터 응용에 관련된 거의 대부분의 공식에 들어감.)
        • 벡터의 내적을 사용하면 두 벡터가 서로 직교하고 있는지 아니면 물체가 나의 앞쪽에 있는지 뒤쪽에 있는지 판별 가능, 어떤 시야각이 주어졌을 때 해당 시야각의 영역 안에 물체가 들어와 있는지 밖에 있는 지를 판단 할 수 있음.
        • 어떤 벡터를 다른 벡터에 투영시킬 때 주요 사용. 내적의 투영 공식에서부터 평면에 방정식이 유도되고 이 평면들이 모여 절두체 영역(카메라가 보여지는 영역)을 만든다. 여기서 그 카메라가 보는 영역 안에 있는 물체만 골라낼 수 있는 수학공식과 알고리즘이 만들어짐.
     2. 벡터의 외적 (벡터의 외적연산은 3차원에서만 가능)
        • 내적이 직교성을 판별하는 데 사용했다면 외적은 평행성을 판별하는 데 사용.
        • 내적은 앞뒤를 판별하는데 사용한다면, 외적은 좌우를 판별하는데 사용.
        • 벡터의 외적은 내적의 부족한 부분을 보충해 주는 성질이 있음. (상호 보완적인 성질)
        • 평행하지 않은 두 벡터의 조합은 평면을 만든다면, 여기에 수직인 벡터, 즉 평면의 방향을 외적을 통해서 파악할 수 있음. >> 이러한 과정을 계속 거치면 3차원 공간을 구성하는 세 가지 축을 모두 다 외적을 사용해서 계산할 수 있음.

3. 회전에 대한 수학

 

회전에 대한 수학 (삼각함수와 회전 행렬)

• 게임에서 변환은 물체가 움직이는 것이 아니고 물체를 담은 공간이 움직인다.
• 벡터공간을 집이라 하면 이를 떠 받들고 있는 주춧돌로 표준기저벡터(평면의 모든 벡터를 생성할 수 있는 기저에서 가장 기본적인 기저벡터)를 설명할 수 있다. 벡터공간의 모든 벡터는 표준기저벡터의 선형조합으로 만들어지기 때문.
• 표준기저 벡터를 변경시키면 어떻게 될까??
  • 벡터 공간에 속한 모든 원소들이 표준기저벡터가 변화된 그 모습에 따라 모두 재배치 >> 공간 변환의 원리(>> 원 공간을 떠 받들고 있었던 표준기저벡터터를 변경시켜 새로운 공간을 창조하는 작업.)
• 회전 변환의 원리
  • 회전 변환을 적용해 변환된 물체는 외형이 변하지 않는다.
  • 표준기저벡터가 가지고 있던 성질을 그대로 유지시켜 변환시켜준다.
• 2차원 공간에서 크기가 1인 두 표준기저벡터가 가지는 (직교하는(직각)) 성질을 유지시켜주면 회전 변환을 만들 수 있음.
• 삼각함수 :
  • 빗변, 높이, 밑변을 가진 삼각형 - 세 가지를 조합해서 만든 비를 삼각비라 한다. (높이/빗변, 밑변/빗변, 높이/밑변 >> 여기서 파생된 것이 삼각함수 : 높이/빗변을 싸인 함수, 밑변/빗변을 코사인 함수, 높이/밑변을 탄젠트함수라 한다.)
   

•  2차원 평면의 회전 행렬(Rotation Matrix)-- [ cos -sin ]- sin cos- 첫 번째 기저벡터가 변화된 값 두 번째 기저벡터가 변화된 값]
• 3차원 공간에서의 회전은 더 까다로움.
  • 축- 각 회전 : 대표적인 방식 : 로드리게스 회전공식 >> 단점 : 행렬로 변환하기 어렵기 때문에 렌더링 파이프 라인의 중간에 위치힌 파이프라인 흐름이 끊기게 됨.
  • 오일러 각 회전 (x, y, z 표준기저벡터를 총 세 번 돌려주는 방식) : 직관적이기 때문에 대부분의 3차원 그래픽 툴에서 사용하며 적은 양의 데이터로 3차원 회전을 표현할 수 있다. >> 단점: 한 번의 회전을 3번으로 끊어서 표현하기에 임의의 축에 대해 부드럽게 움직이는 회전을 계산하기 어려움(매움직임마다 3번씩 끊어서 회전하기 때문), 가끔 한 축의 회전이 증발해 버리는 짐벌락현상이 발생하기도 함.
  • >> 3차원 회전을 안정적으로 구현하기 위해 다차원의 수체계를 사용해서 해결 >> 사원수(쿼터니언)

쿼터니언(사원수에 대해)

사원수(Quaternion) - 네 개의 원소(하나의 실수와 3개의 허수)로 구성된 수

실수 : a

사원수 : a + bi + cj + dk

수란 무엇인가 : 집합의 개념에서 수를 관리하고 있음.(집합이란 원소의 묶음을 의미) 수에는 연산이 존재하기 때문에 단순 집합과 차별점을 가진다. 수는 구조(시스템)를 가진 집합이다.

연산에 대한 공리(Axiom)

1. 교환 법칙
2. 결합 법칙
3. 분배 법칙
4. 항등원
5. 역원

덧셈과 곱셈 연산에 대해 위 공리를 가지는 집합은 수가 될 수 있다.

복소수 - 두 개의 원소로 구성된 수 a + bi

사원수 - 실수부와 허수부로 구성

모든 회전이란 크기가 1인 수와의 곱이다.

크기가 1인 복소수의 곱은 평면에서의 회전 변환과 동일하다.

크기가 1인 사원수와의 곱은 4차원 공간에서의 회전을 의미한다.

사원수의 활용

• 사원수를 사용해 빠르게 벡터를 회전시킬 수 있다.
• 축-각 방식이고 절반의 각으로 파생되기 때문에 일반인들이 직관적으로 사용하기는 어렵다.
• 게임 제작에서 고정된 각을 지정하기 위해서는 오일러 각은 여전히 유용하다.
• 사원수는 행렬로 변환이 용이.

쿼터니언과 오일러는 인프런 강의로는 제대로 이해되지 않았다.

자세하게 나온 블로그 참고 : https://luv-n-interest.tistory.com/805